Programma CPS
2023/2024

Probabilità e sue proprietà :
- probabilità di eventi ;
- partizioni in eventi equiprobabili :
- campionamenti :
- ordinato con reinbussolamento ;
- ordinato senza reinbussolamento ;
- non ordinato senza reinbussolamento ;
- non ordinato con reinbussolamento ;
- Probabilità condizionale :
- correlazione e indipendenza di eventi ;
- Formula di Bayes ;
- Formula delle probabilità totali

Variabili aleatorie e vettori aleatori :
- distribuzione di probabilità univariata ;
- valore atteso, varianza, momenti e cumulanti di una variabile aleatoria :
- funzione generatrice di una variabile aleatoria discreta ;
- Distribuzioni di probabilità discrete :
  - di Bernoulli ;
  - binomiale ;
  - geometrica ;
  - di Poisson ;
  - ipergeometrica ;
  - multinomiale .
-  Leggi congiunte di vv.aa. e distribuzione di probabilità multivariata .
- valore atteso e covarianza di un vettore aleatorio .
- distribuzioni di probabilità marginali .

- indipendenza stocastica di variabili aleatorie discrete :
- Valore atteso, varianza e momenti ;
- covarianza e coefficiente di correlazione .
- Distribuzione di probabilità condizionata di un vettore aleatorio rispetto ad un altro vettore aleatorio ;
- variabile aleatorie non correlate e variabili aleatorie stocasticamente indipendenti .

- Distribuzioni di probabilità assolutamente continue :
  - Funzione di ripartizione univariata e multivariata discreta .
  - Funzione di ripartizione e densità di una v.a. a.c. :
  - distribuzione uniforme ;
  - legge gamma - Γ(α,β) :
  - legge esponenziale .
  - distribuzione normale :
  - stima delle code della legge normale.
  - distribuzione Chi quadro .
  - distribuzione di Cauchy .

- Distribuzioni di probabilità assolutamente continue multivariate :
  - densità congiunte e marginali ;
  - densità condizionali ;
- indipendenza di vv.aa. assolutamente continue;
- densità della somma, del prodotto e del rapporto di due v.a. :
  - distribuzione Beta – B(α,β), come v.a. somma di due vv.aa. gamma (B(α,β) = Γ(α,λ)+ Γ(β, λ)) :
  - Valore atteso, momenti e varianza della distribuzione Beta ;
  - Distribuzione di probabilità di Student
  - Densità di una v.a. funzione di un’altra v.a.

Convergenza di successioni di variabili aleatorie :
- Disuguaglianza di Chebishev generalizzata :
- disuguaglianza di Markov ;
- disuguaglianza di Chebishev ;
- Lemma di Borel – Cantelli ;
- definizione di convergenza quasi certa ;
- definizione di convergenza in probabilità ;
- definizione di convergenza in legge ;
- definizione di convergenza in media di ordine p ;
- relazioni tra le varie nozioni di convergenza:
- convergenza della distribuzione binomiale a quella di Poisson ;
- Legge debole dei grandi numeri .
- Disuguaglianza di Chebishev esponenziale ;
- grandi deviazioni dalla media per lo Schema di Bernoulli :
  - Legge forte dei grandi numeri :
    - definizione generale ;
    - caso dello Schema di Bernoulli come conseguenza delle grandi deviazioni dalla media .
- Approssimazione normale :
  - Teorema Centrale del Limite per lo Schema di Bernoulli :
  - Teorema di de Moivre – Laplace .

Catene di Markov a stati finiti e a tempo discreto :
- Definizione di Catena di Markov a tempo discreto :
- Calcolo delle probabilità di transizione in un numero dato di passi .
- Catene di Markov omogenee a tempo discreto :
- classificazione degli stati secondo le proprietà aritmetiche degli elementi della matrice di transizione in n passi :
- stati essenziali e inessenziali :
  - stati assorbenti ;
- classi di equivalenza di stati essenziali :
- periodo di una classe e sottoclassi cicliche ;
- Rovina del giocatore ;
- Probabilità invarianti e teorema di Markov-Kakutani per catene finite ;
- Legge dei grandi numeri per una catena di Markov .

Statistica Matematica :
- Modelli statistici ;
- Induzione bayesiana ;
  - induzione statistica sulla distribuzione binomiale ;
  - induzione statistica sulla media della distribuzione normale ;
  - induzione statistica sulla varianza della distribuzione normale ;
   - induzione statistica su media e varianza della distribuzione normale ;
- Stime puntuali e per intervalli ;
- Stimatori corretti e consistenti ;
- Stimatori di varianza minima e stimatori efficaci :
- Informazione di Fisher e Disuguaglianza di Cramér – Rao :
- Stimatori di massima verosimiglianza ;
- Stimatori di Bayes .

- Test statistici :
  - Test per campioni gaussiani ;
    - Test del Chi quadro di Pearson ;
  - Regressione lineare .

Testi di riferimento :
Biagini F., Campanino M. Elementi di Probabilità e Statistica Springer
A.N. Shiryaev Probability (second edition) Springer
Baldi P. Calcolo delle probabilità e statistica McGraw-Hill
Ross S. Probabilità e Statistica per l’Ingegneria e le Scienze Feltrinelli