Probabilità e Processi Stocastici
Programma del corso 
a.a. 2007/2008

docente: Michele Gianfelice, gianfelice@mat.unical.it

Revisione delle nozioni fondamentali della teoria della misura e del calcolo delle probabilità
- definizione di algebra di Boole e sigma-algebra di elementi di un insieme
- sigma-algebra generata da una collezione d'insiemi
- classi monotone d'insiemi e connessione tra quasta nozione e quella di sigma-algebra
- misure di probabilità
- applicazioni tra spazi misurabili, variabili aleatorie e vettori aleatori
- spazi di probabilità, funzione di distribuzione di una variabile aleatoria e di un vettore aleatorio (v.a.)
- disuguaglianza di Markov-Chebichev generalizzata
- attesa condizionata e probabilità condizionata

Successioni di variabili aleatorie
- stabilità della collezione delle v.a. rispetto all'operazione di limite puntuale 
  (il limite puntuale di una successione di v.a. è una v.a.)
- convergenza quasi certa
- convergenza in probabilità
- convergenza in media di ordine p, p>0
- convergenza in distribuzione (o in legge)
- relazioni tra le varie nozioni di convergenza di v.a.

Funzione caratteristica di una v.a.
- definizione e proprietà della funzione caratteristica di una v.a.
- teorema di unicità 
- formula d'inversione (senza dimostrazione)
- teorema di Bochner-Khinchin (senza dimostrazione)
- problema dei momenti
- caratterizzazione delle v.a. discrete tramite la funzione caratteristica associata
- relazione tra convergenza in distribuzione di una successione di variabili aleatorie e convergenza puntuale della successione associata delle funzioni 
  caratteristiche

Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale per v.a. indipendenti identicamente distribuite (v.a.i.i.d.)
- legge debole dei grandi numeri per v.a.i.i.d.
- legge forte dei grandi numeri per v.a.i.i.d.
  - teorema di Cantelli
  - teorema di Kolmogorov
  - grandi deviazioni per schemi di Bernoulli
  - dimostrazione di Bernstein del teorema di Weierstass sull'approssimazione di funzioni continue su [0,1]
- teorema del limite centrale per v.a.i.i.d.
  - teorema di de Moivre-Laplace (teorema del limite centrale per schemi di Bernoulli)

Catene di Markov
- teorema di Kolmogorov sull'estensione di una misura sullo spazio misurabile delle successioni a valori reali
- definizione di catena di Markov e sua costruzione come misura sullo spazio misurabile delle successioni a valori reali  
- filtrazioni e tempi d'arresto
- successioni stazionarie in senso stretto e catene di Markov omogenee (ovvero con probabilità di transizione indipendente dal tempo)
- catene di Markov a stati finiti o numerabili 
  - esempi di catene di Markov a stati discreti: 
    - passeggiata aleatoria su {-N,..,N}
    - passeggiata aleatoria sull'insieme degli interi (Z)
    - sitemi dinamici discreti rumorosi con rumore modellizzato da una successione di v.a.i.i.d.
    - modello di coda discreta (fermata del taxi)
    - processo di diramazione
  - classificazione dello spazio degli stati tramite le proprietà algebriche degli elementi della matrice delle probabilità di transizione ad
    un generico passo (p^(n)_i,,j)
  - teorema ergodico (senza dimostrazione)   

Testi consigliati: appunti del corso forniti dal docente.