Programma della parte del corso

Probabilità e Processi Stocastici

svolta da 

Michele Gianfelice 

per l'a.a. 2011/2012

gianfelice@mat.unical.it 
http://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/didattica.html
                                              
Revisione delle nozioni fondamentali della teoria della misura e del calcolo delle probabilità
- definizione di algebra di Boole e sigma-algebra di elementi di un insieme
- sigma-algebra generata da una collezione d'insiemi
- classi monotone d'insiemi e connessione tra quasta nozione e quella di sigma-algebra
- misure di probabilità
- applicazioni tra spazi misurabili, variabili aleatorie e vettori aleatori
- spazi di probabilità, funzione di distribuzione di una variabile aleatoria e di un vettore aleatorio (v.a.)
- disuguaglianza di Markov-Chebichev generalizzata
- attesa condizionata e probabilità condizionata rispetto ad una sigma-algebra
  - attesa condizionata rispetto ad una v.a.
  - correlazione tra eventi
  - versione regolare di una probabilità condizionata
- attesa condizionata come operatore di proiezione nello spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile.

Successioni di variabili aleatorie
- convergenza quasi certa
- convergenza in probabilità
- convergenza in media di ordine p, p>0
- convergenza in distribuzione (o in legge, o convergenza debole di una successione di misure di probabilità)
 - relazioni tra le varie nozioni di convergenza di v.a.
   - lemma di Borel-Cantelli

Funzione caratteristica di una v.a.
- definizione e proprietà della funzione caratteristica di una v.a.
- teorema di unicità 
- formula d'inversione
- relazione tra convergenza in distribuzione di una successione di variabili aleatorie e convergenza puntuale della successione associata delle funzioni caratteristiche, teorema di continuità.
  - legge debole dei grandi numeri per v.a.i.i.d.
  - teorema del limite centrale per v.a.i.i.d.

Leggi gaussiane
- Legge gaussiana di una v.a.: definizione e proprietà
- Legge gaussiana di un v.a. n-dimensionale: definizione e proprietà

Martingale a tempo discreto
- tempi d'arresto
- martingala arrestata
- trasformata Martingala
- decomposizione di Doob-Meyer
- L^2-martingale

Processo di Wiener
- proprietà della misura di Wiener
- processi autosimili 
- continuità e non differenziabilità delle traiettorie del moto browniano
- ponte browniano in [0,1]
- moto browniano condizionato a due valori dati a due (distinti) istanti di tempo 
- moto browniano con drift
- moto browniano geometrico
- principio di riflessione per il moto browniano

Introduzione all'analisi stocastica
- integrale stocastico di Wiener
- integrale stocastico di Ito
- equazioni differenziali stocastiche di Ito lineari
  - caso con rumore additivo
  - caso con rumore moltiplicativo
  - caso generale
  - teorema di esistenza e unicità

Bibliografia:

•	Appunti del corso forniti dal docente reperibili alla url https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/appti_P&PS.pdf
•	Da Prato Giuseppe Introduction to Stochastic Analysis and Malliavin Calculus Scuola Normale Superiore di Pisa - Collana Appunti 2007
•	Mikosch Thomas Elementary Stochastic Calculus with Finance in view World Scientific 1998