Programma del corso

Probabilità e Processi Stocastici

svolto da 

Michele Gianfelice 

per l'a.a. 2013/2014

gianfelice@mat.unical.it 
http://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/didattica.html
                                              
Revisione delle nozioni fondamentali della teoria della misura e del calcolo delle probabilità
- definizione di algebra di Boole e sigma-algebra di elementi di un insieme
- sigma-algebra generata da una collezione d'insiemi
- classi monotone d'insiemi e connessione tra quasta nozione e quella di sigma-algebra
- misure di probabilità
- applicazioni tra spazi misurabili, variabili aleatorie e vettori aleatori
- spazi di probabilità, funzione di distribuzione di una variabile aleatoria e di un vettore aleatorio (v.a.)
- disuguaglianza di Markov-Chebichev generalizzata
- attesa condizionata e probabilità condizionata rispetto ad una sigma-algebra
  - attesa condizionata rispetto ad una v.a.
  - correlazione tra eventi
  - versione regolare di una probabilità condizionata
- attesa condizionata come operatore di proiezione nello spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile
- indipendenza di sigma-algebre
  - indipendenza di vv.aa.

Successioni di variabili aleatorie
- convergenza quasi certa
- convergenza in probabilità
- convergenza in media di ordine p, p>0
- convergenza in distribuzione (o in legge, o convergenza debole di una successione di misure di probabilità)
 - relazioni tra le varie nozioni di convergenza di v.a.
   - lemma di Borel-Cantelli (Legge 0-1 di Borel)

Funzione caratteristica di una v.a.
- definizione e proprietà della funzione caratteristica di una v.a.
- teorema di unicità 
- formula d'inversione
- relazione tra convergenza in distribuzione di una successione di variabili aleatorie e convergenza puntuale della successione associata delle funzioni caratteristiche, teorema di continuità.
  - legge debole dei grandi numeri per v.a.i.i.d.
  - teorema del limite centrale per v.a.i.i.d.

Martingale a tempo discreto
- tempi d'arresto
- martingala arrestata
- trasformata Martingala
- decomposizione di Doob-Meyer
- L^2-martingale
- esempi:
  - martingala come gioco equo
  - teorema di Radon-Nikodym per funzioni lipshitziane su [0,1]
  - rovina del giocatore

Processi stazionari (in senso stretto) 
- lo spazio delle traiettorie di un processo stocastico a tempo discreto a valori reali
- Legge 0-1 di Kolmogorov
- teorema ergodico per succesioni di vv.aa. stazionarie
- catene di Markov a stati finiti o numerabili
  - la distribuzione di probabilità sullo spazio delle traiettorie del processo che 
    caratterizza una catena di Markov
  - teorema ergodico per catene di Markov a stati finiti
  - catene di Markov omogenee
    - classificazione degli stati secondo le proprietà aritmetiche degli elementi della 
      matrice di transizione in n passi
    - proprietà di Markov forte
    - classificazione degli stati secondo le delle proprietà asintotiche della 
      matrice di transizione in n passi  

Bibliografia:

•	Appunti del corso forniti dal docente reperibili alla url https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/appti_P&PS.pdf
	https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/Leggi_0-1n.pdf
•	A. N. Shiryaev Probability ( Second Edition) Springer-Verlag 1995
	cap.I par.12 e cap.VIII parr. 2 e 3.