Programma del corso

Probabilità e Processi Stocastici

svolto da 

Michele Gianfelice 

per l'a.a. 2018/2019

gianfelice@mat.unical.it 
http://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/didattica.html
                                              
Revisione delle nozioni fondamentali della teoria della misura e del calcolo delle probabilità
- spazi di probabilità, funzione di distribuzione di una variabile aleatoria e di un vettore aleatorio (v.a.)
-- disuguaglianza di Markov-Chebichev generalizzata
- attesa condizionata e probabilità condizionata rispetto ad una sigma-algebra
   - attesa condizionata rispetto ad una v.a.
   - correlazione tra eventi
   - versione regolare di una probabilità condizionata
   - attesa condizionata come operatore di proiezione nello spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile.
- Successioni di variabili aleatorie
 - convergenza quasi certa
 - convergenza in probabilità
 - convergenza in media di ordine p, p>0
 - convergenza in distribuzione (o in legge, o convergenza debole di una successione di misure di probabilità)
 - relazioni tra le varie nozioni di convergenza di v.a.
   - successioni uniformemete integrabili
   - lemma di Borel-Cantelli
- Funzione caratteristica di una v.a.
  - definizione e proprietà della funzione caratteristica di una v.a.
  - teorema di unicità 
  - formula d'inversione
  - relazione tra convergenza in distribuzione di una successione di variabili aleatorie e   convergenza puntuale della successione associata delle funzioni caratteristiche, teorema di continuità.
    - legge debole dei grandi numeri per v.a.i.i.d.
    - teorema del limite centrale per v.a.i.i.d.

Leggi gaussiane
- Legge gaussiana di una v.a.: definizione e proprietà
- Legge gaussiana di un v.a. n-dimensionale: definizione e proprietà

Martingale a tempo discreto
- tempi d'arresto
- martingala arrestata
- trasformata Martingala
- decomposizione di Doob-Meyer
- L^2-martingale
- L^1-martingale e martingale regolari
  - teorema di Radon-Nikodym per funzioni dell'intervallo lipschitziane
  - legge forte dei grandi numeri

Processo di Wiener
- proprietà della misura di Wiener
- processi autosimili 
- continuità e non differenziabilità delle traiettorie del moto browniano
- ponte browniano in [0,1]
- moto browniano condizionato a due valori dati a due (distinti) istanti di tempo 
- moto browniano con drift
- moto browniano geometrico

Introduzione all'analisi stocastica
- integrale stocastico di Wiener
- integrale stocastico di Itô
- equazioni differenziali stocastiche di Itô 
- teorema di esistenza e unicità
- equazioni differenziali stocastiche di Itô lineari
   - caso con rumore additivo
   - caso con rumore moltiplicativo
   - caso generale
  - equazioni differenziali stocastiche di Itô non lineari con termine di rumore lineare
   - caso con rumore additivo
   - caso con rumore moltiplicativo
- formula di Black-Scholes per il prezzaggio di un opzione europea

Bibliografia:

Appunti del corso forniti dal docente reperibili alle url
https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/appti_P&PS.pdf
https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/esercizi_P&PS.pdf

Da Prato Giuseppe Introduction to Stochastic Analysis and Malliavin Calculus Scuola Normale Superiore di Pisa - Collana Appunti 2007

Mikosch Thomas Elementary Stochastic Calculus with Finance in view World Scientific 1998