Si veda:
- Monty Hall su Wikipedia
- Monty Hall su Praestigiator.com
In un gioco a premi, abbiamo davanti tre porte: dietro una di queste c'è un'auto, nelle altre due una capra. Dobbiamo scegliere una porta, e vinceremo quello che troviamo là dietro. Fatta la scelta, il presentatore ci dice "Ne sei proprio sicuro? Puoi ancora cambiare la scelta: anzi, ti voglio aiutare e riduco le scelte a due. Ecco: dietro questa porta, c'è una capra". Cosi` dicendo, apre una delle porte che noi non abbiamo scelto, mostrando una capra. Ammesso che vogliamo vincere l'auto, ci conviene cambiare porta, o la cosa è indifferente?
Nota:
- il presentatore ci fa la domanda qualunque sia stata la nostra scelta.
- il presentatore apre sempre una porta diversa da quella scelta da noi, e la sceglie in modo che abbia dietro una capra.
Cambiare porta aumenta le probabilità di vincere l'auto. La spiegazione più semplice di questo fatto controintuitivo è la seguente:
1) Se il conduttore dicesse sempre "Preferisci tenere la porta scelta o cambiare con tutte e due le altre porte?" preferiremmo certamente cambiare.
2) Se il conduttore dicesse sempre "Preferisci tenere la porta scelta o cambiare con tutte e due le altre porte (ma in questo caso mi devi rendere una capra)?" preferiremmo ancora cambiare: infatti ci rimettiamo una capra che comunque non volevamo, e siamo sicuri di poterla rendere perché ne vinceremo una o due.
3) Se il conduttore dicesse sempre "Preferisci tenere la porta scelta o cambiare con tutte e due le altre porte (ma in questo caso mi devi rendere questa capra che ora ti faccio vedere)?" preferiremmo ancora cambiare: la situazione è identica a prima, se non per il fatto di aver visto la capra da rendere.
L'ultima situazione presentata è equivalente alla domanda posta nel problema, il che significa che conviene cambiare la porta.
Nota 1: In un recente quiz televisivo, "Chi vuol esser milionario?", si presenta spesso una situazione simile a quella del problema. Il concorrente, infatti, sceglie una risposta tra quattro, e chiede che il computer ne elimini due tra le sbagliate. Se, come probabile, il computer sceglie due risposte sbagliate a caso tra le tre (includendo potenzialmente anche la risposta suggerita dal concorrente) cambiare idea non modifica per nulla la probabilità di indovinare. Se, invece, il computer ignorasse di default la prima risposta e indicasse sempre due risposte sbagliate tra le tre restanti, in quel caso converrebbe cambiare per le stesse ragioni indicate sotto.
Poiché molti non si convincono della soluzione proposta, qui di seguito sono presentate diverse spiegazioni a cura di GianPiero Puccioni.
1
Subito dopo la tua scelta iniziale si generano due gruppi di porte:
Gruppo A: la porta che hai scelto
Gruppo B: le altre due porte
probabilità di vincita (presenza auto) per A: 1/3
probabilità di vincita (presenza auto) per B: 2/3
A questo punto il presentatore compie un' operazione sul gruppo B, e SOLO sul gruppo B, il gruppo A non entra in gioco, cioe' apre una porta che lui sa contenere la capra, provocando cosi' il "collasso" delle probabilita' sulla porta rimanente DEL GRUPPO B che ha questo punto ha probabilita' 2/3 di nascondere un auto.
Cambiare conviene.
2
Poniamo che le tre porte siano A, B e C. E hai scelto A
Ci sono queste tre possibilita'.
a) Auto dietro C - Presentatore apre B - Cambiare conviene - Prob 1/3
b) Auto dietro B - Presentatore apre C - Cambiare conviene - Prob 1/3
c) Auto dietro A - Presentatore apre B - Restare conviene - Prob 1/6
d) Auto dietro A - Presentatore apre C - Restare conviene - Prob 1/6
L'errore comune e' di assegnare alle quattro possibilita' uguale probabilita'(1/4), il che e' sbagliato dato se cosi' fosse si avrebbe che nel 50% dei casi l'auto era dietro A (proprio la porta scelta!) e questo equivarrebbe a dire che all'inizio avevo una probabilita' del 50% di scegliere la porta giusta. In effetti i casi c) e d) sono solo due sottocasi del caso in cui l'auto sia dietro A (con prob 1/3) che differiscono solo per il fatto (totalmente ininfluente) che il presentatore fa vedere una capra piuttosto che un'altra. Si potrebbe riscrivere il tutto come:
a) Auto dietro C - Presentatore apre B - Cambiare conviene - Prob 1/3
b) Auto dietro B - Presentatore apre C - Cambiare conviene - Prob 1/3
c) Auto dietro A - Presentatore apre B o C - Restare conviene - Prob 1/3
Cambiare conviene.
3
Se hai già deciso di non cambiare la tua scelta, che differenza può fare che il conduttore faccia vedere la capra e chieda di cambiare? Potresti anche guardare subito cosa hai vinto. A parte cambiare quello che c'è dietro la tua porta (e questo NON è permesso dalle regole) come fa la tua probabilità di vincere ad aumentare solo perchè dopo la tua scelta succede qualcosa che non ha nessuna influenza sulla scelta?
Se fai questo gioco 100 volte e guardi subito dietro la porta poi il conduttore fa vedere la capra, ti aspetti di vincere piu' o meno 33 volte o 50 volte? Se avessi guardato dopo che il conduttore ha fatto vedere la capra ti aspetti di che sia diverso? Come e' possibile se la scelta era la stessa, non e' certo cambiato quelle che c'era dietro la porta.
Cambiare conviene.
4
Prova a fare questo semplice esperimento. Prendi tre carte, un asso (l'auto), due carte a caso (le capre) ed un dado.
Mescola le carte e disponile scoperte da sinistra a destra e chiamale rispettivamente 1, 2 e 3. Lancia il dado ed il risultato modulo 3 sara' la porta scelta dal partecipante. Appoggia il dado sulla carta relativa.
Elimina una delle due restanti carte con la regola che non sia mai l'asso. Scrivi su di un foglio "Cambio" se avresti vinto l'auto cambiando la scelta rispetto al dado oppure "Lascio" se l' avresti vinta mantenendo la prima scelta.
Ripeti una ventina di volte e guarda quanti "Cambio" e quanti "Lascio" hai scritto.
Prevedo un tuo cambiamento di opinione, che potrebbe essere anche piu' rapido se realizzi che se hai posato il dado sull'asso (una volta su tre) vinci lasciando e se lo hai posato su di una carta a caso (due volte su tre) vinci cambiando, e quindi ti risparmi tutto il resto.
Cambiare conviene.
5
Consideriamo tutti i casi possibili:
| Porta 1 | Porta 2 | Porta 3 | |
| 1 | A | C1 | C2 |
| 2 | A | C2 | C1 |
| 3 | C1 | A | C2 |
| 4 | C2 | A | C1 |
| 5 | C1 | C2 | A |
| 6 | C2 | C1 | A |
A rappresenta l'auto
C1 e C2 sono le capre
A questo punto per evitare la casualità della apertura della porta da parte del presentatore aggiungiamo una regoletta:
"il presentatore apre sempre la porta con C1, a meno che non sia quella scelta dal giocatore nel qual caso apre C2" (il giocatore ovviamente non sa quale delle capre è C1 e quale C2, sono indistinguibili per lui).
Vediamo quando si vince cambiando scegliendo le varie porte:
se si sceglie P1 si vince nei casi 3,4,5,6
se si sceglie P2 si vince nei casi 1,2,5,6
se si sceglie P3 si vince nei casi 1,2,3,4
per un totale di 12 su 18 (6 casi x 3 possibili scelte) cioe' 2/3.
Si può notare che sono tutti casi in cui la regoletta NON era necessaria in quanto forzati dal fatto che il giocatore aveva scelto una capra al primo colpo, quindi non possono essere modificati dal fatto che la scelta del presentatore non era casuale. Al massimo l'introduzione della regoletta di cui sopra potrebbe modificare i restanti 6 casi (in cui cambiando si perde) ma anche se fosse (e non è) di sicuro la probabilità di vincere cambiando non puo' essere meno di 2/3. Quindi anche se la scelta del presentatore rimane casuale non cambia niente, dopotutto l'unico effetto che ha è che se non trovo l'auto trovo sempre C2.
Cambiare conviene.
6
Se il gioco fosse di trovare l'asso di quadri in un mazzo di 52 carte ed il giocatore A ne pescasse una a caso senza guardare e dopo il giocatore B invece potesse guardarle e scartarle tutte tranne una, chi avrebbe la maggiore probabilita' di avere l'asso? Ovviamente B dato che perderebbe solo nell'unico caso in cui A pesca l'asso. E quindi A avrebbe 1/52 probabilità e B le restanti 51/52. E se le carte fossero solo 10 ? Allora A avrebbe 1/10 e B 9/10, dato che, di nuovo, tranne in quel caso su 10 in cui A pesca l' asso di sicuro vincerà B. E se le carte fossero 3 ? Nessun problema: A 1/3 e B 2/3 per le stesse ragioni. E questa è la stessa
situazione delle 3 porte con A nella parte del giocatore e B in quella del presentatore.
Cambiare conviene.
7
Il giocatore ha in effetti due scelte da fare:
Strategia: cambiare o non cambiare
Porta: 1, 2 o 3
Fatte queste due scelte non esiste più probabilità o altro: l'esito è determinato da dove era il premio all'inizio, il presentatore NON ha alcuna scelta sull'esito del gioco, il suo ruolo è puramente meccanico. L'unica cosa che conta e se la porta scelta la prima volta era quella con l'auto o no.
Se il giocatore sceglie di cambiare ed ha scelto la porta con la capra (2 probabilità su 3) ha vinto, fine del gioco. Il presentatore DEVE obbligatoriamente aprire una data porta (quella non scelta con la capra) e lasciare al giocatore la porta con l'auto che il giocatore otterrà cambiando. Se il giocatore invece ha scelto la porta con l'auto (1 su 3) ha perso, dato che il presentatore avendo due porte con capre DEVE lasciare al giocatore la porta con una delle capre.
Se la strategia era non cambiare allora tutto il resto è perfettamente inutile dato che la porta che hai scelto è quello che ottieni qualsiasi cosa faccia il presentatore, la volta su 3 che scegli l'auto vinci le altre 2 volte perdi.
Cambiare conviene.
8
Su un'isola ci sono due tribù, quella dei bugiardi e quella degli onesti. Vicino c'è un'altra isola anche questa con due tribù i Testardi (che non cambiano mai idea) ed i Volubili (che appena possono cambiano idea).
Il nostro gioco è stato organizzato con 300 concorrenti per ogni tribù, e, dato che i concorrenti non vedevano cosa succedeva al concorrente precedente e che non potevano parlare con che doveva ancora fare il gioco, è stato deciso di mettere il premio dietro la porta 1 e di lasciarlo sempre lì.
Cosa è successo?
Tribu' dei Testardi
100 scelgono la porta 1, 100 la porta 2 e 100 la porta 3 ed ovviamente non cambiano idea dopo che il presentatore ha aperto una porta. Risultato: vincono solamente i 100 che avevano scelto la porta 1.
Tribu' dei Volubili
100 scelgono la porta 1, 100 la porta 2 e 100 la porta 3 ed ovviamente cambiano idea dopo che il presentatore ha aperto una porta. Risultato: perdono solamente i 100 che avevano scelto la porta 1 mentre quelli che avevano scelto la porta 2 (o 3) cambieranno alla porta 1 ( e vinceranno) quando il presentatore aprira' la porta 3 (o 2).
Testardi 100/300 vincite
Volubili 200/300 vincite
Cambiare conviene.
La Pagina originale con i suggerimenti qui riportati è presente su Praestigiator.com