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== Geometria 3 ==

(Offerta Formativa fino all'A.A. 2016/17)

'''Numero di crediti ECTS''': 10

'''SSD di riferimento''': MAT/03

'''Docente''': [[https://www.mat.unical.it/pers/docenti/oliverio/oliverio.html|Paolo Antonio Oliverio]]

##'''Descrizione Insegnamento''': ELEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE E DI ANALISI COMPLESSA


'''Prerequisiti'''<<BR>>
Elementi di Topologia, Analisi Matematica 1, Algebra Lineare.

'''Obiettivi'''<<BR>>
Insegnare allo studente le Curve e Superfici differenziabili, e insegnare la parte fondamentale della teoria di variabile complessa.

'''Programma'''<<BR>>
Curve parametrizzate nel piano. Curve parametrizzate nello spazio. Curve regolari. Parametro d’arco o parametro naturale. Curve semplici, retta tangente, piano osculatore in un punto. Curvatura, torsione, formule di Frenet. Superfici differenziabili immerse nello spazio ordinario: superfici parametrizzate regolari, esempi che utilizzano il teorema della funzione implicita, piano tangente, prima forma quadratica fondamentale. Applicazione di Gauss. Differenziale dell’applicazione di Gauss. Seconda forma fondamentale. Curvature normali in un punto. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Punti ellittici, iperbolici, parabolici, planari e ombelicali. Isometrie locali e Isometrie tra superfici. Formula della curvatura Gaussiana. Theorema Egregium di Gauss. Curvatura geodetica, le curve geodetiche.
 
Numeri complessi, rappresentazioni dei numeri complessi, radici dell’unità. Funzioni di una variabile complessa. Derivata di una funzione complessa. Funzioni olomorfe. Operazioni sulle funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. Trasformazioni conformi. Trasformazioni lineari fratte. Serie di potenze. Raggio e cerchio di convergenza. Le serie di potenze come funzioni olomorfe. Funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni trigonometriche. Integrale curvilineo di una funzione complessa. Primitiva locale per una funzione olomorfa. Teorema di Cauchy. Forma omotopica del teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo in serie di potenze delle funzioni olomorfe. Maggiorazioni di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’Algebra. Teorema del prolungamento analitico. Principio del massimo modulo. Sviluppo in serie di Laurent. Singolarità isolate e singolarità essenziali. Teorema di estensione di Riemann. Funzioni meromorfe. Poli e zeri di una funzione meromorfa. Residui. La formula dei residui nel piano complesso e sulla sfera di Riemann. Il principio dell’Argomento. Teorema di Rouché. Calcolo di integrali reali definiti e integrali reali trigonometrici.


'''Bibliografia'''<<BR>>
Libri di testo: 
 * M. Abate, F. Tovena; Curve e Superfici (Springer).
 * C. Presilla: Elementi di Analisi Complessa (Springer).
Altri testi consigliati:
 * S. Lang Complex Analysis (Springer).
 * M. Do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces (Prentice-Hall).

'''Tipologia di attività didattiche'''<<BR>>
Lezioni ed esercitazioni in aula.

'''Metodi di valutazione'''<<BR>>
Prova scritta e prova orale.