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== Probabilità e processi stocastici ==

(Offerta Formativa fino all'A.A. 2015/16)

'''Numero di crediti ECTS''': 8
 
'''SSD di riferimento''': MAT/06

'''Docente''': [[https://www.mat.unical.it/~gianfelice/|Michele Gianfelice]]


'''Prerequisiti''' 
<<BR>>
Nozioni di base di analisi funzionale (Spazi di Banach e di Hilbert,
trasformata di Fourier e Laplace), di teoria della misura (Integrale di Lebesgue, Teorema di Radon-NIkodym, Teorema di rappresentazione
Riesz), di algebra lineare (matrici simmetriche e loro diagonalizzazione), equazioni diffrenziali ordinarie.

'''Obiettivi'''
<<BR>>
Conoscenza degli argomenti di base della teoria e delle applicazioni dei Processi stocastici e del Calcolo delle Probabilità non elementare.

'''Programma'''
<<BR>>
 * PRIMA PARTE:
  * Catene di Markov.
  * Probabilità congiunte.
  * La rovina del giocatore.
  * Probabilità invarianti.
  * Teorema di Markov-Kakutani.
  * Teorema di Doblin.
  * Teorema di Markov sulle catene finite regolari. 
 * SECONDA PARTE:
  * Cenno all’integrale di Stieltjes-Lebesgue.
  * Spazi di probabilità.
  * Speranza matematica come integrale in dP.
  * Speranza matematica condizionale.
  * Leggi normali multivariate.
  * Teorema di Cramér.
  * Funzioni generatrici.
  * Somme aleatorie.
  * Generatori aleatori e simulazione.
  * Metodo di Monte Carlo.
  * Nozioni di convergenza di successioni di variabili aleatorie: quasi certa, in probabilità, in media di ordine p, in legge.
  * Funzioni caratteristiche.
  * Unicità e inversione.
  * Teoremi di convergenza.
  * Convergenza debole delle misure.
  * Numeri normali.
  * Lemma di Borel-Cantelli.
  * Disuguaglianza di Kolmogorov.
  * Convergenza delle serie aleatorie.
  * Leggi forti dei grandi numeri nelle varie versioni.
  * Il Teorema Centrale del Limite e sue ramificazioni.
  * Legge del logaritmo iterato.
  * Leggi 0-1.
 * TERZA PARTE:
  * Martingale.
  * Processi stocastici e loro classificazione.
  * Catene di Markov numerabili.
  * Passeggiate aleatorie.
  * Comportamento asintotico.
  * Caso delle barriere assorbenti.
  * Processo di Poisson e processi di salto.
  * Moto browniano e processo di Wiener.
  * Integrale di Ito e equazioni differenziali stocastiche.
  * Processo di Ornstein-Uhlembeck. Processi di diffusione.

'''Bibliografia'''
<<BR>>
 * Appunti del corso forniti dal docente reperibili alla url https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/appti_P&PS.pdf
 * Da Prato Giuseppe Introduction to Stochastic Analysis and Malliavin Calculus Scuola Normale Superiore di Pisa - Collana Appunti 2007
 * Mikosch Thomas Elementary Stochastic Calculus with Finance in view World Scientific 1998

'''Tipologia di attività didattiche'''
<<BR>>
Lezioni frontali ed esercitazioni.

'''Metodi di valutazione'''
<<BR>>
Esame scritto e orale.