Di seguito, troverete il dettaglio degli argomenti finora trattati nel corso di Analisi Matematica II (CdS in Fisica). Il corso non è ancora concluso.


Richiami su integrazione in una variabile: somme inferiori e superiori di Riemann, funzioni integrabili e non, integrabilità di funzioni continue.

Richiami sul Teorema fondamentale del calcolo integrale, primitive, integrazione per parti e per sostituzione.

Integrali impropri: definizione, proprietà e criteri.

Esempi di integrali impropri: gli integrali di Gauss, di Dirichlet e di Fresnel.

Esercizi sull'integrazione.

Proprietà della metrica euclidea.

Definizione di distanza e di spazio metrico.

Esempi di spazi metrici: la p-metrica su R, distanza del sup su spazi di funzioni continue.

Lipschitzianità della distanza.

Definizione di intorno circolare.

Esempi di intorni circolari.

Definizione di insieme aperto in uno spazio metrico.

Proprietà degli insiemi aperti.

Definizione di insieme chiuso in uno spazio metrico.

Proprietà degli insiemi chiusi.

Definizioni e proprietà di intorno di un punto,  punto interno di un insieme, interno di un insieme, punto di accumulazione e di aderenza, chiusura di un insieme, punti di frontiera, frontiera di un insieme.

Definizioni e proprietà di insieme limitato, diametro di un insieme limitato, distanza di un punto da un insieme.

Definizioni e proprietà di successioni in spazi metrici, successione convergente e successione di Cauchy.

Esempi di successioni convergenti negli spazi euclideo e delle funzioni continue.

Teorema di caratterizzazione della chiusura per mezzo di successioni convergenti (senza dimostrazione).

Teorema di unicità del limite.

Definizione e proprietà di funzione continua tra spazi metrici.

Teorema di equivalenza tra continuità e continuità sequenziale.

Teorema sulla continuità delle funzioni lipschitziane.

Definizione e proprietà di norma e di spazio normato.

Esempi di spazi normati.

Metrica indotta da una norma.

Lemma (diseguaglianza di Young).

Lemma (diseguaglianza di Holder).

Lemma (diseguaglianza di Minkowski).

La p-norma su R^N.

Definizione e proprietà di spazio metrico completo e spazio di Banach.

Esempi di spazi metrici completi e non.

Definizione di contrazione.

Teorema di Banach-Caccioppoli (o principio delle contrazioni).

Definizione e proprietà di insieme compatto in uno spazio normato.

Teorema di Weierstrass.

Teorema (di equivalenza delle norme in R^n)

Teorema di Cantor (senza dimostrazione)

Definizione di convergenza puntuale e di convergenza uniforme di successioni di funzioni.

Esempio di una successione convergente puntualmente ma non uniformemente.

Criterio di Cauchy puntuale.

Criterio di Cauchy uniforme.

Teorema di scambio dei limiti per successioni uniformemente convergenti.

Teorema di scambio del limite uniforme con la derivata.

Teorema di scambio del limite uniforme con l'integrale (senza dimostrazione).

Definizione e proprietà delle serie di funzioni.

Definizione e proprietà di convergenza puntuale, uniforme e totale per le serie.

Definizione e proprietà delle serie di potenze e del raggio di convergenza.

Criteri di Cauchy-Hadamard e D'Alembert.

Definizione di funzione regolare a tratti.

Serie di Fourier e coefficienti di Fourier.

Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier (senza dimostrazione).

Lemma (Diseguaglianza di Bessel) (senza dimostrazione).

Teorema sulla convergenza uniforme della serie di Fourier.

Richiami di topologia.

Limiti e continuità di una funzione reale in più variabili: esempi.

Criteri per stabilire l'esistenza del limite di una funzione in più variabili (senza dimostrazione).

Coordinate polari in R^2.

Cenni sulle derivate direzionali e sul differenziale di una funzione.

Definizione e proprietà  di derivate parziali e derivate direzionali.

Un esempio d'una funzione derivabile ma non continua.

Definizione e proprietà di funzione differenziabile e di differenziale.

Teorema (del differenziale).

Teorema (derivata direzionale di una funzione differenziabile).

Teorema (di derivazione delle funzioni composte)

Derivate successive e matrice hessiana di una funzione.

Teorema (di Schwarz o dell’inversione dell’ordine di derivazione).

Ottimalità delle ipotesi del Teorema di Schwarz.

Teorema (sulle funzioni a gradiente nullo)

Applicazioni del Teorema sulle funzioni a gradiente nullo.

Insiemi di livello.