Argomenti per la relazione finale del corso di laurea nel nuovo ordinamento (5 crediti)
Geometria differenziale
La geometria delle superfici con curvatura gaussiana positiva.
Bibliografia: S. Montiel – A. Ros , Curves and Surfaces, Am. Math. Society, Graduate studies in Mathematics, vol. 49, 2005, capitolo 6.
Geometria proiettiva (con algebra lineare)
1) La classificazione delle trasformazioni proiettive nello spazio proiettivo complesso n-dimensionale e il teorema di Jordan.
Punti uniti, spazi uniti, omologie nel caso n- dimensionale, interpretazione geometria dei rapporti di autovalori delle matrici, forme canoniche….
Bibliografia:
M. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri, Torino, 2002, capitolo 5 e Appendice A
Qualche testo di Algebra lineare o di teoria delle matrici per il teorema di Jordan, oppure
Linear Algebra Gems, MAA 2002, pag 131, I. Gohberg e S. Gohberg “A simple proof of the Jordan Decomposition Theorem for Matrices”
2) Proprietà proiettive e proprietà affini delle coniche.
Classificazioni, fuochi, assi, proprietà di simmetria, a partire dagli argomenti trattati nel corso di Geometria euclidea, affine e proiettiva.
Bibliografia principale: M. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri, Torino, 2002, cap. 6
3) Il modello di Klein-Beltrami della geometria non-euclidea iperbolica.
I punti interni ad una conica e le corde di questa conica si possono interpretare come punti e rette di un piano non euclideo iperbolico. La costruzione del modello utilizza la geometria proiettiva del piano. Un software di geometria permette di realizzare il modello in modo semplice; si può usare un software libero per riprodurre lavori già pubblicati che usano software commerciali.
Bibliografia principale: H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, New York,1980, i paragrafi 1.1, 1.2, 16.1, 16.2
A. Brigaglia , G. Indovina - Le Trasformazioni geometriche e la geometria iperbolica: una semplice realizzazione del modello di Beltrami-Klein - L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 23B n. 3, Aprile 2000, pag. 129-152
http://web.unife.it/progetti/fardiconto/cabrirrsae/quaderni/doc/quad_15.pdf
Geometria affine e euclidea, con riferimenti alla teoria dei gruppi e all'algebra lineare
1) Il teorema di Veblen sul gruppo delle equiaffinità.
L'interesse dello studio del gruppo delle equiaffinità risiede nel ruolo che esso può svolgere, nella didattica della geometria, per fondare il concetto di area in modo dinamico e costruttivo, rintracciabile negli stessi Elementi di Euclide. In Coxeter, Introduction to Geometry, è citato un risultato di Veblen secondo il quale il gruppo delle trasformazioni affini che conservano l'area dei poligoni (equiaffinità) è generato dalle simmetrie oblique. Per le isometrie piane, vale un analogo teorema: il gruppo delle isometrie piane è generato dalle riflessioni rispetto a rette. La dimostrazione del teorema di Veblen può essere ricostruita, seguendo suggerimenti dello stesso Coxeter, in base ad analogie con l'analogo risultato per le isometrie piane.
Bibliografia principale: H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, Wiley, New York, 1980, Capitolo 13, e in particolare 13.4
2) Il teorema di Eulero sull'asse di una rotazione.
Una rotazione dello spazio tridimensionale tiene fissi tutti i punti di una retta; il teorema, stabilito da Eulero negli anni 1775-76, ha avuto molte dimostrazioni.
Bibliografia principale: Bob Palais, Richard Palais, Stephen Rodi, A disorienting look at Euler's Theorem on the axis of a rotation, The American Mathematical Monthly, vol 116, 10, 2009, pag. 892-909
Qualche testo di Algebra lineare e Geometria.