Programma di Analisi Matematica I

I MODULO

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Insiemi. Simboli logici. Operazioni sugli insiemi. Funzioni. Funzioni invertibili e funzioni inverse. Funzioni composte. Restrizioni e prolungamenti. Successioni. Principio di induzione completa.

L'INSIEME DEI NUMERI REALI
Assiomatica dell'insieme R dei numeri reali. Proprietà dei numeri reali. Minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore di un insieme numerico e caratterizzazioni. Proprietà archimedea di R. Valore assoluto. Non completezza dell'insieme Q delle frazioni in R. Densità di Q in R. Intervalli di R. Intorni, intorni destri e sinistri. Punti di accumulazione, punti di accumulazione a destra, a sinistra. Punti interni. Insiemi separati, insiemi contigui. Rappresentazione geometrica di R ed R². Coefficienti binomiali e formula del binomio (*). L'insieme ampliato R^ dei numeri reali.

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Grafico di una funzione reale di una variabile reale. Operazioni sulle funzioni. Estremi di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni pari, dispari, periodiche. Polinomi. Divisioni fra polinomi. Funzioni elementari e loro proprietà. Equazioni e disequazioni algebriche, razionali fratte e irrazionali. Insieme di definizione di una funzione.

LIMITI DI SUCCESSIONI DI NUMERI REALI
Limiti di successioni. Unicità del limite. Successioni estratte e loro limiti. Operazioni sui limiti. Limiti notevoli. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno e teoremi di confronto. Teorema fondamentale sulle successioni monotone. Numero di Nepero.

LIMITI DI FUNZONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Limiti di funzioni. Limite a destra, a sinistra. Carattere locale del limite. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti di funzioni composte. Limiti di funzioni monotone (*). Limiti delle funzioni elementari e delle funzioni razionali.

CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Operazioni sulle funzioni continue. Teorema di Weierstrass (*). Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Bolzano. Teorema inverso di Bolzano (*). Punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti: comportamento della funzione esponenziale e della funzione logaritmo.

DERIVATE DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Funzioni derivabili e derivata. Interpretazione geometrica della derivata. Derivata destra e sinistra. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa (*). Derivate delle funzioni elementari. Teoremi di Rolle, di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. I teoremi di de l'Hopital (*). Derivate di ordine superiore. Differenziale e approssimazione lineare. Formula di Taylor del 2° ordine col resto di Lagrange e col resto di Peano. Formula di Taylor di ordine superiore (*). Irrazionalità del nu mero di Nepero. Massimi e minimi relativi: condizione necessaria, condizioni sufficienti (*). Ricerca del massimo o del minimo assoluti di una funzione. Concavità, convessità, flessi: condizioni sufficienti. Asintoti, punti angolosi e punti cuspidali. Studio del grafico di una funzione.

INTEGRALI DI FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Integrale di una funzione reale continua (*). Significato geometrico dell'integrale ed applicazioni. Proprietà dell'integrale (*). Primitive. Integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Lunghezza di un arco di curva e volume di un solido di rotazione (*). Integrali indefiniti immediati. Formula di Hermite (*). Metodo di integrazione per parti e per sostituzione. Metodo di integrazione per razionalizzazione.

II MODULO

FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI
Spazio R². Norma, prodotto scalare e distanza euclidea in R². Intorni, insiemi aperti e insiemi chiusi. Punti di accumulazione. Insieme di definizione di funzioni di due variabili. Definizione di limite e di continuità per funzioni di due variabili. Derivate parziali. Funzioni differenziabili. Condizione sufficiente per la differenziabilità (*). Vettori direzione in R². Derivata direzionale. Gradiente. Derivabilità in ogni direzione di una funzione differenziabile (*). Interpretazione geometrica della differenziabilità: piano tangente. Teorema di Schwartz (*). Teorema di Lagrange(*). Insiemi aperti connessi. Funzioni a gradiente nullo. Punti di minimo e massimo relativi. Punti critici e punti di sella. Condizione necessaria per i punti di minimo o di massimo relativi. Hessiano. Condizioni sufficienti per i punti di minimo o di massimo relativi e per i punti di sella (*). Applicazione ai minimi quadrati.

N.B.: La dimostrazione dei teoremi contrassegnati con (*) non è richiesta.

Testi consigliati:
- C.D.PAGANI-S.SALSA, Matematica (per i diplomi universitari), Masson, Milano, 1997.
- M. TROISI, Analisi Matemetica, Liguori Editore, Napoli.
- P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, voll. I e II, Liguori Editore, Napoli.