Analisi numerica 2

Numero di crediti ECTS: 10

SSD di riferimento: MAT/08

Docente:F.A. Costabile

Prerequisiti

• Calcolo differenziale e integrale in più dimensioni
• Successioni e serie, numeriche e di funzioni
• Spazi di funzioni
• Elementi di Analisi funzionale e di algebra lineare
• Calcolo numerico e programmazione

Obiettivi

• Introduzione alla soluzione numerica di problemi differenziali con valori iniziali e al bordo in una e due dimensioni spaziali
• Complementi sulle soluzioni di equazioni e sistemi lineari e non.

Programma

PARTE PRIMA
1. Problemi al valore iniziale
1.1 Il metodo di collocazione per il problema al valore iniziale
1.2 Stima dell’errore
1.3 Calcolo effettivo della soluzione, implementazione
1.4 Esempi di nodi particolari
1.5 L’equazione del secondo ordine
1.6 Il metodo di Newton per sistemi di equazioni non lineari
1.7 Il metodo di Runge Kutta implicito continuo
1.8 I metodi a differenze finite
2. Problemi con valori al bordo
2.1 Esistenza ed unicità della soluzione: il metodo di Picard
2.2 Il metodo di collocazione
2.3 Stima dell’errore
2.4 Calcolo effettivo , implementazione dell’algoritmo
2.5 Il metodo di Runge_Kutta-Nystron implicito
2.6 Scelta di sistemi di nodi
2.7 Problemi della classe M: esistenza ed unicità della soluzione
2.8 Metodi a differenza finite
2.9 Algoritmo di Thomas
2.10 Stime dell’errore
2.11 Metodo di Galerkin
PARTE SECONDA
1. Problemi in due dimensioni
1.1 Introduzione ed esempi
1.2 Necessità di metodi numerici
1.3 Equazione alle derivate parziali lineari del secondo ordine: classificazione
1.4 Metodi alle differenze finite
1.5 L’equazione di Poisson in un rettangolo
1.6 Il problema discretizzato: esistenza e unicità della soluzione
1.7 Errore di troncamento e convergenza
1.8 Calcolo numerico della soluzione: fattorizzazione di Cholesky, anche per matrici a banda
1.9 Metodi iterativi: il metodo del gradiente coniugato con implementazione
1.10 Algoritmo SOR con implementazione
2. Equazione delle onde e sistemi di equazioni iperboliche
2.1 Approssimazione alle differenze finite
2.2 Condizioni sufficienti per la convergenza
2.3 The advenction equation: soluzione esatta
2.4 Schemi alle differenze finite
2.5 Stabilità
2.6 Convergenza
3. L’equazione del calore
3.1 Metodi alle differenze finite
3.2 Metodi di collocazione

Bibliografia

• Dispense del corso
• Iserles A first course in the numerical Analysis of differential equations Cambridge University Press (1996)
• Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Method, Springer (1989).

Tipologia di attività didattiche
Si preferirà un'attività di apprendimento per problemi, senza trascurare l'unitarietà della problematica. Gli strumenti necessari saranno PC e software specifici e lavagna luminosa.

Metodi di valutazione
Esame orale