Geometria 1

(Offerta Formativa fino all'A.A. 2014/15)

Numero di crediti ECTS: 10

SSD di riferimento: MAT/03

Docente: Francesco Polizzi

Prerequisiti
Nessuno.

Obiettivi
Insegnare allo studente i fondamenti dell'Algebra Lineare.

Programma

• Vettori in R^n:definizione di punto in un n-spazio, vettori applicati, prodotto scalare e norma, rette, piani e iperpiani.
• Numeri complessi: generalità e operazioni sui numeri complessi, radici n-esime di un numero complesso e formula di De Moivre, radici dell'unità.
• Spazi vettoriali: definizione ed esempi, sottospazi, basi, dimensione, somma e somma diretta, formula di Grassmann vettoriale.
• Matrici: Lo spazio vettoriale delle matrici, matrici simmetriche ed anti-simmetriche, matrici trasposte, applicazione allo studio dei sistemi di equazioni lineari, moltiplicazione di matrici.
• Applicazioni lineari: definizione ed esempi, nucleo ed immagine di un'applicazione lineare, Teorema di Nullità più Rango.
• Applicazione lineari e matrici: applicazione lineare associata ad una matrice, matrice associata ad un'applicazione lineare, composizione di applicazioni lineari e moltiplicazione di matrici, rango di una matrice.
• Determinanti: definizione e proprietà, calcolo per mezzo dello sviluppo di Laplace, determinante di un prodotto (regola di Binet), determinante della trasposta e calcolo della matrice inversa per mezzo della formula dei cofattori.
• Sistemi di equazioni lineari: generalità, regola di Cramer, metodo di eliminazione di Gauss, Teorema di Rouché-Capelli.
• Prodotti scalari e ortogonalità: definizione e proprietà, spazi con prodotto scalare, prodotti scalari definiti positivi, basi ortogonali e procedimento di Gram-Schmidt, spazi duali.
• Autovalori e autovettori: generalità, calcolo degli autovalori per mezzo del polinomio caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, autospazi, criteri di diagonalizzabilità.
• Operatori hermitiani e anti-hermitiani: generalità, autovalori di operatori hermitiani e anti-hermitiani, diagonalizzabilità, Teorema Spettrale (sia nel caso reale che complesso).

Bibliografia
Libro di testo: S. Lang, Algebra lineare (Bollati Boringhieri).
Altri testi consigliati: M. Abate, C. de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare (McGraw-Hill).

Tipologia di attività didattiche
Lezioni ed esercitazioni in aula.

Metodi di valutazione
Prova scritta e prova orale.