Algebra

(Offerta Formativa fino all'A.A. 2014/15)

Numero di crediti ECTS: 10

SSD di riferimento: MAT/02

Docente: Giampiero Chiaselotti

Prerequisiti
Nessuno.

Obiettivi
Il corso intende fornire le basi algebriche allo studente che nel prosieguo del proprio curriculum di studi dovrà affrontare problemi di carattere matematico e informatico, o, più in generale, di carattere simbolico, che richiedono l'uso di tecniche algebriche più avanzate.

Programma
Parte preliminare

• Elementi di Teoria degli Insiemi: Concetto di insieme, operazioni tra insiemi, applicazioni tra insiemi, relazioni di equivalenza, insiemi quoziente.
• L'insieme dei numeri interi e lo studio elementare delle congruenze.
• Relazioni di divisibilità negli interi.
• Cenni di teoria dei numeri.
• Principio di Induzione.
• Elementi di Calcolo Combinatorio
• Teorema cinese del resto.

Parte prima

• Introduzione alla teoria dei gruppi. Nozione di gruppo astratto e primi teoremi elementari.
• Esempi di gruppi: gruppo delle permutazioni, gruppo degli interi, gruppo delle radici n-esime dell'unità, gruppi di matrici, gruppi diedrali, gruppi di indotti da congruenze.
• Gruppi ciclici. Classi laterali e teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy.

Parte seconda
Omomorfismi di gruppi e nozione di nucleo. Esempi basilari. Sottogruppi normali. Gruppi quoziente. Teorema di corrispondenza per gruppi. Teoremi di isomorfismo per gruppi. Azione di un gruppo su un insieme, stabilizzatore ed orbite. Azione di coniugio ed equazione delle classi. Azione di coniugio su sottoinsiemi. Gruppi di permutazione (seconda parte): scomposizione in cicli disgiunti, trasposizioni, gruppo alterno. Semplicità dei gruppi alterni. Teoremi di Sylow. Applicazioni dei teoremi di Sylow. Generatori. Sottogruppo derivato. Prodotti diretti interni ed esterni di gruppi. Teorema di struttura per gruppi abeliani finiti.

Parte terza
Introduzione alla teoria degli anelli. Nozioni di anello, corpo e campo. Teoremi e risultati elementari. Caratteristica di un anello. Omomorfismi di anelli. Ideali, anelli quoziente e teoremi di isomorfismo per anelli. Prodotti diretti di anelli. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Ideali massimali e ideali primi. Domini a ideali principali.

Parte quarta
Teoria della divisibilità nei domini di integrità. Domini a fattorizzazione unica. Anelli euclidei. Sottocampi quadratici sui razionali. Anello delle serie formali di potenze. Anelli di polinomi. Teoria della divisibilità in anelli di polinomi. Criteri di irriducibilità. Cenni ai polinomi in più indeterminate.

Parte quinta
Introduzione alla teoria dei campi. Estensioni algebriche, semplici, finite e trascendenti. Teorema di Kronecker. Campi di spezzamento.

Bibliografia
Dispense delle lezioni con esercizi e prove scritte distribuite mediante copisteria indicata dal docente.
Libro consigliato: ALGEBRA, Herstein, Ed. Riuniti

Tipologia di attività didattiche
Lezioni frontali, esercitazioni.

Metodi di valutazione
Prova scritta e prova orale.