Matematiche elementari da un punto di vista superiore

(Offerta Formativa fino all'A.A. 2014/15)

Numero di crediti ECTS: 10

SSD di riferimento: MAT/04

Docente: Luca Dell'Aglio

Prerequisiti
Conoscenza dei fondamentali concetti di algebra

Obiettivi
Conoscenza dei fondamenti della teoria delle equazioni e della teoria di Galois.

Programma
PARTE PRIMA
TEORIA DELLE EQUAZIONI E TEORIA DI GALOIS

1. I campi numerici. La “caratteristica” di un campo. L’estensione. Numeri algebrici e trascendenti.
2. Irriducibilità dei polinomi. Lemma di Gauss. Criterio di Esenstein.
3. Estensioni algebriche. Polinomi minimi. Polinomio derivato.
4. Isomorfismo tra polinomi. Estensioni finite. Corrispondenza di Galois. Gruppo di Galois. Campo di spezzamento.
5. Le costruzioni con riga e compasso. Problemi risolubili con riga e compasso. Poligoni regolari.
6. Le estensioni ciclotomiche. Gruppi finiti. I gruppi semplici e i gruppi risolubili. Equazioni non risolubili per radicali. Monomorfismi. Automorfismi. Polinomi simmetrici. Campi finiti.
7. Equazioni generali di secondo, terzo e quarto grado.
8. Estensione pura. Estensione normale. Gruppo transitivo. Estensione separabile. Metodo pratico per individuare il gruppo di Galois di un polinomio di terzo grado.

PARTE SECONDA
STORIA DELL’ALGEBRA

1. Dall’Aritmetica all’Algebra: i matematici greci tra geometria e aritmetica verso l’algebra. Il secondo libro degli Elementi di Euclide. I Libri aritmetici di Diofanto. I calcoli pre-ellenici (Egitto, Mesopotamia).
2. I matematici arabi e le origini dell’Algebra. Al-Kuwarizmi e il primo scritto di Algebra. Al-Karajī. Thābīt ibn Qurra. Al-Khayyām. Sharaf al-Dīn al-Thūsī.
3. Gli Algebristi del Cinquecento. Gerolamo Cardano. Scipione del Ferro. Ludovico Ferrari. Niccolò Tartaglia. Raffaele Bombelli. Pietro Antonio Cataldi. Christoforo Clavio.
4. La “nuova” Algebra: da François. Viète, a Albert Girard, a Réné Descartes, a John Wallis.
5. Il teorema fondamentale dell’algebra. K. Fr. Gauss.
6. Joseph Louis. Lagrange, Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel e Evariste Galois. Dall’algebra delle equazioni all’algebra delle strutture

Bibliografia

• Procesi Claudio, Elementi di teoria di Galois, Decibel, Zanichelli, Bologna, 1996.

• Stewart Ian, Galois Theory, Chapman & Hall, London, 1989.

• Gabelli Stefania, Teoria delle equazioni e teoria di Galois, Springer, Milano, 2008.
• M. Galuzzi, L. Maierù, N. Santoro, La nascita dell’algebra e la riflessione dei matematici arabi, Aracne Editrice, Roma, 2010.
• M. Galuzzi, L. Maierù, N. Santoro, La tradizione latina dell’algebra, Fibonacci, le scuole d’abaco, il Cinquecento, Aracne Editrice, Roma, 2012.

Tipologia di attività didattiche
Lezioni ed esercitazioni in aula

Metodi di valutazione
Esame orale.