Probabilità e processi stocastici

(Offerta Formativa fino all'A.A. 2015/16)

Numero di crediti ECTS: 8

SSD di riferimento: MAT/06

Docente: Michele Gianfelice

Prerequisiti
Nozioni di base di analisi funzionale (Spazi di Banach e di Hilbert, trasformata di Fourier e Laplace), di teoria della misura (Integrale di Lebesgue, Teorema di Radon-NIkodym, Teorema di rappresentazione Riesz), di algebra lineare (matrici simmetriche e loro diagonalizzazione), equazioni diffrenziali ordinarie.

Obiettivi
Conoscenza degli argomenti di base della teoria e delle applicazioni dei Processi stocastici e del Calcolo delle Probabilità non elementare.

Programma

• PRIMA PARTE:
  • Catene di Markov.
  • Probabilità congiunte.
  • La rovina del giocatore.
  • Probabilità invarianti.
  • Teorema di Markov-Kakutani.
  • Teorema di Doblin.
  • Teorema di Markov sulle catene finite regolari.
• SECONDA PARTE:
  • Cenno all’integrale di Stieltjes-Lebesgue.
  • Spazi di probabilità.
  • Speranza matematica come integrale in dP.
  • Speranza matematica condizionale.
  • Leggi normali multivariate.
  • Teorema di Cramér.
  • Funzioni generatrici.
  • Somme aleatorie.
  • Generatori aleatori e simulazione.
  • Metodo di Monte Carlo.
  • Nozioni di convergenza di successioni di variabili aleatorie: quasi certa, in probabilità, in media di ordine p, in legge.
  • Funzioni caratteristiche.
  • Unicità e inversione.
  • Teoremi di convergenza.
  • Convergenza debole delle misure.
  • Numeri normali.
  • Lemma di Borel-Cantelli.
  • Disuguaglianza di Kolmogorov.
  • Convergenza delle serie aleatorie.
  • Leggi forti dei grandi numeri nelle varie versioni.
  • Il Teorema Centrale del Limite e sue ramificazioni.
  • Legge del logaritmo iterato.
  • Leggi 0-1.
• TERZA PARTE:
  • Martingale.
  • Processi stocastici e loro classificazione.
  • Catene di Markov numerabili.
  • Passeggiate aleatorie.
  • Comportamento asintotico.
  • Caso delle barriere assorbenti.
  • Processo di Poisson e processi di salto.
  • Moto browniano e processo di Wiener.
  • Integrale di Ito e equazioni differenziali stocastiche.
  • Processo di Ornstein-Uhlembeck. Processi di diffusione.

Bibliografia

• Appunti del corso forniti dal docente reperibili alla url https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/appti_P&PS.pdf

• Da Prato Giuseppe Introduction to Stochastic Analysis and Malliavin Calculus Scuola Normale Superiore di Pisa - Collana Appunti 2007
• Mikosch Thomas Elementary Stochastic Calculus with Finance in view World Scientific 1998

Tipologia di attività didattiche
Lezioni frontali ed esercitazioni.

Metodi di valutazione
Esame scritto e orale.