Geometria analitica e algebra lineare

Corso di laurea in Matematica, anno accademico 2009/10

Data Argomenti trattati nelle lezioni,  riferimenti, materiali pubblicati
18 settembre '09 Presentazione del corso: contenuti, organizzazione didattica, prova intermedia, modalità d'esame,  rilevazione della frequenza
  0. Esercizi sui prerequisiti
30 settembre '09 1. Esercizi sui vettori geometrici
5 ottobre 2009 Lezione n. 1: presentazione del corso, discussione di esercizi sui prerequisiti
6 ottobre 2009 Lezione n. 2: vettori geometrici ed operazioni su di essi (cfr. Abate de Fabritiis: 2.1)
  Lezione n. 3: esercizi su prerequisiti e su vettori geometrici
7 ottobre 2009 2. Esercizi su equazioni parametriche di rette e piani. 3. Esercizi sul metodo di eliminazione di Gauss
8 ottobre 2009 Lezioni n. 4 e 5: coordinate di vettori nel piano (cfr. Abate de Fabritiis: 2.2), esercizi su vettori geometrici
9 ottobre 2009 Lezioni n. 6 e 7: la bigezione dello spazio dei vettori del piano su R2 . Equazioni parametriche delle rette nel piano (cfr. Abate de Fabritiis: 2.2, 2.3)
12 ottobre 2009 Lezione 8: Equazioni parametriche di rette e piani nello spazio (cfr. Abate de Fabritiis: 2.3)
13 ottobre 2009 Lezione 9 e 10: spazi vettoriali sul campo reale (cfr. Abate de Fabritiis: 3.1), esercizi su equazioni parametriche di rette e piani.
15 ottobre 2009 Lezioni 11 e 12: matrici, operazioni su matrici, spazi vettoriali di matrici (cfr. Abate de Fabritiis: Definizione 3.3, Esempio 4.18)
16 ottobre 2009 Lezioni 13 e 14: prodotto di matrici, equazioni lineari (cfr. Abate de Fabritiis:7.2, 3.1)
19 ottobre 2009 Lezione 15: sottospazi vettoriali, esempi di sottospazi di matrici, sistemi lineari (cfr. Abate de Fabritiis: 3.1, 4.1)
   4. Esercizi su spazi vettoriali, sottospazi, matrici.
20 ottobre 2009 Lezioni 16, 17. Sistemi lineari omogenei, sottospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema omogeneo (cfr. Abate de Fabritiis, 4.1). Sistemi lineari equivalenti, operazioni elementari, riduzioni a scalini, pivots, esercizi su sistemi lineari (cfr. Abate de Fabritiis, cap. 39.
22 ottobre 2009 Lezioni 18, 19. Combinazioni lineari, sottospazi generati da famiglie di vettori (cfr. Abate-de F. 4.2).
23 ottobre 2009 Lezioni 20, 21. Dipendenza lineare, esercizi su vettori linearmente indipendenti (cfr. Abate-de F. 4.3).
26 ottobre 2009 Lezione 22. Osservazioni sulla dipendenza lineare. Definizione di base di un sottospazio vettoriale (cfr. Abate-de Fab. 4.3)
  5. Esercizi su dipendenza lineare, basi di sottospazi.
27 ottobre 2009 Lezioni 23, 24. Unicità delle componenti di un vettore rispetto ad una base (cfr. Abate-de Fab. 4.3, Prop. 4.5). Famiglie massimali di vettori linearmente indipendenti. (cfr. Abate-de Fab. 4.4). Esercizi su sottospazi e su sistemi lineari.
29 ottobre 2009 Lezioni 25, 26. Teorema del completamento (cfr. Abate-de Fab. 4.4, Teorema  4.10). Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale. Esercizi. 
  6. Esercizi su completamento di basi, intersezione e somma di sottospazi, spazi supplementari.
30 ottobre 2009 Lezioni 27, 28. Somma e intersezione di sottospazi (cfr. Abate-de Fab. 4.5). Esercizi su sottospazi.
2 novembre '09 Assenza ingiustificata degli studenti
3 novembre '09 Lezioni 29, 30. Teorema di Grassmann, somma diretta di sottospazi vettoriali (cfr. Abate-de Fab. 4.5). Esercizi su sottospazi.
5 novembre '09 Lezioni 31, 32. Equazione di un piano nello spazio ordinario, esercizi su sottospazi vettoriali.
6 novembre '09 Lezioni 33, 34. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, esempi; un'applicazione lineare da un spazio di dimensione finita è individuata se sono note le immagini dei vettori di una base (Abate - de Fabritiis, 5.1).
  7. Esercizi sulle applicazioni lineari.
9 novembre '09 Lezione 35. Nucleo di un'applicazione lineare. Definizione di Immagine. (Abate - de Fabritiis, 5.2).
10 novembre '09 Lezioni 36, 37. L'Immagine di un'applicazione lineare è il sottospazio generato dalle immagini dei vettori di una base. Matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a basi fissate (Abate - de Fabritiis, 5.2). Esercizi sulle applicazioni lineari.
12 novembre '09 Lezioni 38, 39. Matrice associata ad un'applicazione lineare, esercizi
13 novembre '09 8. Esercizi sul teorema di Rouché-Capelli, rango di una  matrice.
  Lezioni 40, 41. Relazione tra le dimensioni del nucleo, dell'immagine e dello spazio su cui è definita un'applicazione lineare. Rango di una matrice e teorema di Rouché-Capelli (Abate etc., n. 5, e Prop. 4.3; si omettono 5.10, 5.11, 5.12). Esercizi su applicazioni lineari e sistemi lineari.
16 novembre '09 Lezione 42. Il rango di una matrice é il numero di pivot di una sua qualsiasi riduzione a scala (Abate - de Fabritiis, 6.1, 6.2)
  Appunti sul teorema del "rango per righe".
17 novembre '09 Lezioni 43, 44. Il rango di una matrice è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale generato dalle righe (rango per righe). Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare (Abate-de F., teo. 5.1). Sottospazi affini di uno spazio vettoriale (Abate-deF., 6.1). Equazioni cartesiane di rette e piani (Abate-de F. 10.1). Esercizi sul rango di una matrice e su sistemi lineari.
19 novembre '09 Prova intermedia
  9. Esercizi su equazioni cartesiane di rette nel piano e nello spazio e di piani.
20 novembre '09 Risultati della prova intermedia
  Lezioni 45, 46. Discussione della prova intermedia. Fasci di rette e condizioni di parallelismo nel piano. Stelle e fasci di piani (Abate-de F., 10).
23 novembre '09 Lezione 47. Esercizi su equazioni cartesiane di rette nel piano e nello spazio e di piani.
24 novembre '09 Lezioni 48, 49. Interpretazione geometrica di sistemi lineari: intersezioni di due piani, di tre piani, di due rette; condizioni di parallelismo tra piani, tra rette, condizione perchè due rette siano sghembe. Esercizi su equazioni parametriche e cartesiane di piani (Abate-de F., 10).
25 novembre '09 10. Esercizi su rette sghembe, condizioni di parallelismo, fasci di piani.
26 novembre '09 Lezioni 50, 51. Fasci di piani (Abate-de F., 10). Matrici invertibili, loro proprietà (Abate-de F., 7.3).
27 novembre '09 Lezioni 52, 53. Applicazioni bigettive, inversa di un'applicazione. Calcolo dell'inversa di una matrice (Abate-de F., 7.3). Esercizi su rette nello spazio.
30 novembre '09 Lezione 54. Cambiamenti di base (Abate - de F., 8.1).
  11. Esercizi su matrici invertibili, cambiamenti di base.
1 dicembre '09 Lezioni 55, 56. Esempi di cambiamenti di base. Applicazioni lineari e matrici associate rispetto a basi diverse; matrici simili (Abate -de F., 8). Esercizi su matrici invertibili.
3 dicembre '09 Lezioni 57, 58. L'area di un parallelogrammo e il determinante di una matrice di ordine 2. Proprietà che caratterizzano la funzione determinante, definizione per induzione, teorema di esistenza (senza dimostrazione), proprietà che si deducono facilmente da quelle caratterizzanti (Abate - de F., 9.1).
4 dicembre '09 12. Esercizi sui determinanti e sul loro uso in geometria analitica.  Commenti su alcuni esercizi: 1, sui vettori geometrici
  Lezioni 59, 60. Il determinante è uguale a zero se e solo se le righe della matrice sono linearmente dipendenti (Abate - De F., 9.1), uso del determinante per scrivere equazioni di rette e di piani (Abate de F, 10). Esercizi su cambiamenti di base.
9 dicembre '09. Commenti su alcuni esercizi: 4, spazi vettoriali, sottospazi.
10 dicembre '09 Lezioni 61, 62. Senza dimostrazioni: i teoremi di Laplace, del determinante della trasposta, di Binet; di Cramer; conseguenze: sulle proprietà del determinante rispetto alle colonne (Abate de F, 9.2,9.3). Esercizi sui determinanti.
  Commenti e soluzioni di alcuni degli esercizi proposti: 2-3, equazioni parametriche di rette e piani, eliminazione di Gauss.
11 dicembre '09 Lezioni 63, 64. Il prodotto scalare nel piano. Il prodotto scalare standard in Rn (Abate - de F, 11.1). Esercizi sull'uso dei determinanti in geometria analitica.
14 dicembre '09. Lezione 65. 13. Uso del prodotto scalare: condizioni di perpendicolarità, distanze, angoli.
15 dicembre '09 Lezioni 66, 67. Coseni direttori di rette orientate (Abate de F, 12.1); problemi su distanze, perpendicolarità, simmetrie assiali, proiezioni ortogonali.
16 dicembre '09 14. Esercizi sull'uso del prodotto scalare, del prodotto vettoriale, del prodotto misto.
17 dicembre '09 Lezioni 68, 69. Condizione di perpendicolarità tra piani, definizione e proprietà del prodotto vettoriale (Abate-de F, 12.1 e 12. 2); esercizi su distanze e ortogonalità.
18 dicembre '09 Lezioni 70, 71. Distanze di punti da piani, da rette, tra rette sghembe (Abate - de F, 12)
21 dicembre '09 15. Esercizi su basi ortogonali, isometrie. Commenti ad alcuni esercizi: 5, dipendenza lineare, basi.
  Lezioni 72, 73. Il prodotto misto, aree di parallelogrammi e volumi di parallelepipedi. Basi ortogonali nello spazio tridimensionale.
22 dicembre '09 Commenti ad alcuni esercizi: 6, sottospazi intersezione, somma, somma diretta. 7. Applicazioni lineari
  Lezioni 74, 75. Complemento ortogonale di un sottospazio in Rn ; matrici ortogonali, isometrie del piano (Abate - de F. 11.3, definizione 11.21, 12 C) 
5 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 8, rango di una matrice, teorema di Rouché-Capelli.
7 gennaio 2010 16. Punti fissi, autovettori.
  Lezioni 76, 77. Isometrie del piano e dello spazio (Abate - de F. esempio 11.17, 12.C.2); esercizi: ricerca di punti uniti, equazioni di una riflessione del piano.
8 gennaio 2010 Lezioni 78, 79. Autovalori, autovettori, proprietà del polinomio caratteristico (Abate - de F., cap. 13): esercizi su autovalori e autovettori di matrici reali.
  Commenti ad alcuni esercizi: 9, equazioni cartesiane di rette e di piani.
11 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi; 10, rette sghembe, rette parallele a piani, fasci di piani.
  17. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Coniche.
  Lezioni 80, 81. Diagonalizzazione di una matrice reale, il caso degli autovalori multipli, la diagonalizzabilità delle matrici simmetriche reali (senza dimostrazione) (Abate - de F, cap. 13, cap. 14.1). Esercizi su autovettori e diagonalizzazione.
12 gennaio 2010 Lezioni 82, 83. Circonferenza, ellisse, iperbole, parabola: definizioni in base a relazioni tra distanze, equazioni canoniche, equazioni parametriche. Le curve piane del secondo ordine, la matrice simmetrica dei coefficienti. Il problema della classificazione delle curve del secondo ordine (Abate -de F., 15.1, 15.2).
14 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 11, matrici invertibili, cambiamenti di base.
  Lezioni 84, 85. Le sezioni piane di un cono, forme canoniche delle superfici quadriche, traccia della dimostrazione del teorema di classificazione, centro di una conica, assi (Abate etc., 15.2)
15 gennaio 2010 Appunti su coniche e quadriche. Lezioni 86, 87. Osservazioni sulle sezioni piane delle sfere e dei cilindri, esercizi su coniche.
18 gennaio 2010 18. Quadriche e loro sezioni piane.
  Lezioni 88, 89. Le due famiglie di rette sull'iperboloide a una falda. Coordinate polari nel piano, cilindriche, sferiche (Abate e de Fabritiis, 15.4). Esercizi su sfere, cilindri, coni, sezioni piane di quadriche.
  Indice degli argomenti trattati.   19. Esercizi di ricapitolazione.
19 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 12. Determinanti, uso dei determinanti in geometria analitica.
20 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 13. Uso del prodotto scalare: perpendicolarità, distanze, angoli.
23 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 14. Distanze, aree., 15. Sottospazi ortogonali, isometrie.
24 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 15. Sottospazi ortogonali, isometrie. (sostituisce il file pubblicato il 23, che conteneva uno svarione)
25 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 16. Punti fissi; autovettori.; 17. Studio di coniche.
27 gennaio 2010 Commenti ad alcuni esercizi: 18. Quadriche e loro sezioni piane.
29 gennaio 2010 Una delle versioni della prova scritta d'esame del 28 gennaio
12 febbraio '10 Una delle versioni della prova scritta del giorno 11 febbraio. Calendario delle prove orali.
12 luglio 2010 Una delle versioni della prova scritta del 12  luglio. Calendario delle prove orali.

Come annunciato nella presentazione del corso, la partecipazione alla prova intermedia è uno dei requisiti per ottenere l'attestazione della frequenza al corso.

Chi non avesse potuto partecipare alla prova intermedia del 19 novembre, si presenti il lunedì oppure il mercoledì pomeriggio nell'orario di ricevimento, o concordi un appuntamento.